Ce qu'il advint de la profondeur

Les démonstrations, indépendantes, d'Hadamard et de la Vallée Poussin, du théorème des nombres premiers, conjecturé par Gauss, passent par l'étude de la fonction $\zeta$.

"C'est beaucoup !" se sont dit Erdős et Selberg, "en existe-t-il une démonstration élémentaire ?"

Qu'est-ce qu'un démonstration élémentaire ? Voici un exemple :

Partons de la résolution de l'équation : $x^{2}=a$ avec $a$ positif. On extrait la racine carrée des deux côtés, $\sqrt{x^2}=\sqrt{a}$, ce qui nous donne : $|x|=\sqrt{a}$. Où $|x|$ représente la valeur absolue de $x$. Il faut maintenant la supprimer (la valeur absolue) à l'aide des règles habituelles, et on a : $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$.

C'est simple et rapide, hélas, l'appel à la fonction "valeur absolue", relève de la "stratégie du marteau" pour enfoncer une punaise. Peut-on s'en passer ? Existe-t-il une démonstration "élémentaire" ? qui n'utilise que des outils d'un niveau inférieur à l'objet à démontrer ? Voyons voir ça...

Partons de $x^{2}=a$ et transformons là en $x^{2}-a=(x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})=0$. Nous reconnaissons un produit à gauche et $0$ à droite. Il faut donc que l'un des facteurs soit nul, autrement dit : $x=\sqrt{a}$ ou $x=-\sqrt{a}$.

Il n'est plus besoin de passer par la valeur absolue, que l'on remplace par l'utilisation d'une factorisation adroite à l'aide d'une identité remarquable. Cette identité est d'un niveau inférieure au problème qu'elle aide à résoudre. Nous la qualifions d'élémentaire.