Là, on va voir une belle démonstration, ancienne et originale, mais pas très juste. Ça n’est pas grave, on la doit à Euler, et en la matière, respect ! Très élégante et basée sur le crible d’Ératosthène, elle établit le pont entre fonction et les nombres premiers.

Théorème :

$$\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots=\frac{1}{\cdots\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)}$$