Nombres
L'arithmétique des calculatrices
Les calculatrices, et partant les ordinateurs, sont des objets familiers. Elles sont introduites dans les programmes dès la classe de CM1. Elles permettent des calculs auparavant impossibles en temps réduits, elles nous évitent des erreurs (comme celles longtemps passées inaperçues dans le calcul des décimales de $\pi$ par William Shanks), mais comment calculent-elles et peut-on leur accorder une confiance totale ?
Le nombre comme équation
Nous disions que la construction des nombres réels a été longue et fastidieuse. Elle a entraîné avec elle un effort de rigueur et la nécessité de penser les autres ensembles de nombres comme les entiers relatifs et les fractions.
Le nombre au bout
Dans le précédent article, nous avons donné une preuve rapide de cet étrange résultat : $$ 0,999\dots = 1 $$
Il est étonnant en ce qu'il bouscule notre intuition. S'il semble être faux, contraire au bon sens, c'est que l'idée que nous avons des nombres est incomplète. La question : "Qu'est-ce qu'un nombre ?" dépend d'une autre : "À quoi sert-il ?"
Une preuve par intimidation algébrique
Quiconque divise 1 par 3 sait que le résultat ne tombe pas juste. L'écriture décimale de ce nombre est la suivante :
$$ \frac{1}{3}=0,333\dots, $$
Partant de là, multiplions par 3 des deux côtés, nous avons : $$ 1=0,999\dots $$
Étonnant résultat qui autorise plein de variations comme par exemple :$$ 2,999\dots = 3. $$