Prêcher le faux

On rencontre souvent, à titre d'illustration du raisonnement par l'absurde, la démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

J'ai déjà eu l'occasion dans mon précédent essai, C.Q.F.D., 21 façons de prouver en mathématiques, aux Éditions Flammarion, d'expliquer, qu'en dépit de son caractère historique et son intérêt pédagogique évident, le problème de cette preuve qui ne peut raisonnablement être qualifier de "par l'absurde".

Or, pour des élèves d'un niveau de seconde, que nous reste-t-il si l'on veut donner un exemple d'un véritable raisonnement par l'absurde ? L'infinité de l'ensemble des nombres premiers ?

L'exemple que je donne ici à le mérite de la simplicité, de l'efficacité et de l'utilité.

Propriété

Soit $n$ un nombre entier. S'il possède un diviseur $a$ et si $a < \sqrt{n}$, alors l'entier $b$ tel que $n=a \times b$ est tel que $b > \sqrt{n}$

Preuve

Raisonnons par l'absurde et supposons que $b < \sqrt{n}$ alors, comme $a < \sqrt{n}$, on a que $n=a \times b < \sqrt{n} \times \sqrt{n}=n$ ce qui est une contradiction. C.Q.F.D.

Ce résultat est particulièrement utile lorsqu'il s'agit d'établir la primalité d'un entier donné par divisions successives. En effet pour montrer que $n$ est premier, il suffit de le diviser par tous les entiers premiers inférieurs strictement à $\sqrt{n}$.

Utile aussi pour le crible d'Ératosthène