Là, on va voir une belle démonstration, ancienne et originale, mais pas très juste. Ça n’est pas grave, on la doit à Euler, et en la matière, respect ! Très élégante et basée sur le crible d’Ératosthène, elle établit le pont entre fonction et les nombres premiers.
Théorème :
$$\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots=\frac{1}{\cdots\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)}$$
Démonstration :
Nous partons de la définition de la fonction $\zeta$
$$\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots$$
Et nous multiplions des deux côtés de l’égalité par $\frac{1}{2^{s}}$
$$\frac{1}{2^{s}}\times \zeta\left( s\right)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\cdots$$
Dans cette expression, tous les termes dont le dénominateur est un nombre pair et que nous allons soustraire à la première égalité. De cette manière :
$$\zeta\left( s\right)-\frac{1}{2^{s}}\zeta\left( s\right)=1+\left( \frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{2^{s}}\right)+\frac{1}{3^{s}}+\left( \frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{4^{s}}\right)+\frac{1}{5^{s}}+\cdots$$
Nous obtenons donc :
$$\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\cdots$$
On voit que les termes, dont le dénominateur est un multiple de $2$, disparaissent.
On réitère l’opération en multipliant le résultat précédent par $\frac{1}{3^{s}}$ :
$$\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}\cdots$$
On soustrait les deux lignes précédentes :
$$\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)$$
et on factorise par $\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)$ dans la partie gauche de l’égalité :
$$\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\cdots$$
De même, les termes dont le dénominateur est un multiple de trois disparaissent. On itère le procédé avec les nombres premiers suivant (nous voyons mieux en quoi, il s’agit d’une adaptation ingénieuse du crible d’Ératosthène).
Nous avons :
$$\cdots\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta\left( s\right)=1$$
D'où
$$\zeta\left( s\right)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\cdots=\frac{1}{\cdots\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)}$$
C.Q.F.D.