La bijection : un site de rencontre pour les nombres
Si vous pouvez associer tous les éléments d’un premier ensemble avec tous ceux d’un autre et, ce de manière bi-univoque, alors le nombre d’éléments du premier est égal à celui du second.
Dans le cadre d’ensembles finis, cette propriété est une évidence. Si vous ranger $n$ bouteilles dans un casier de $6$ places et que toute trouve à se ranger qu’aucune ne reste sur la table, alors vous pouvez conclure que vous avez $6$ bouteilles.
« Dieu a fait les nombres entiers, tout le reste est l’œuvre de l’homme ».
disait le mathématicien Kronecker.
Regardons donc de plus près cet ensemble « divin », les entiers naturels :
$$\mathbb{N}=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\dots$$
Nous le connaissons tous, ne serait-ce qu’intuitivement, exception faite du zéro qui est arrivé plus tard3. Les entiers sont bien « naturels » en ce sens qu’ils correspondent aux choses que nous avons sous les yeux, et ce, dès notre naissance : nos doigts !
Puisqu’on peut le décrire en dressant la liste de ses membres, les uns à la suite des autres, on le qualifie de dénombrable. On peut les mettre les uns derrières les autres, un par un et ainsi de suite…
Prenons l’ensemble des entiers relatifs, c’est-à-dire le précédent augmenté des entiers négatifs :
$$\mathbb{Z}=\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\dots$$
On pense intuitivement : « S’il y a deux fois plus d’éléments, il est plus grand »
Or, il existe une bijection entre l’ensemble des entiers naturels et celui des entiers relatifs. La fonction :
$$f\colon\begin{cases}
\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{Z}\\
n\longmapsto\begin{cases}
\frac{n}{2}&\text{si n est pair}\\
-\frac{n+1}{2}&\text{Si n est impair}
\end{cases}
\end{cases}$$
Pour mieux l’appréhender, voici un tableau :
$$\begin{vmatrix}
n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \dots \\
f(n) & 0 & -1 & 1 & -2 & 2 & -3 & 3 & -4 & \dots \\
\end{vmatrix}$$
Ou peut-être est-ce plus clair avec le dessin suivant ?
La spirale passe par tous les entiers relatifs de la droite, à chaque fois qu’elle la coupe, nous comptons : $0,1,2,3\dots$
Cette preuve visuelle est très parlante. À ma gauche, un ensemble de taille infini, à ma droite, un ensemble deux fois plus grand. Il est aussi de taille infinie. Est-ce à dire que deux fois l’infini, c’est autant qu’une fois l’infini ? Il y a autant d’entiers relatifs que naturels ?
