Dans son article de 1859 où il formule sa célèbre hypothèse, Riemann travaille à prolonger la fonction Zêta au-delà de son domaine de définition. Définie par Euler sur l'ensemble des entiers naturels, elle est prolongée à celui des nombres complexes, mais avec des restrictions.

Riemann se consacre alors à étendre le domaine de définition de la fonction, usant avec génie des techniques de l'analyse complexe naissante.

Quel est le fond de sa méthode, le prolongement ? Je vous montre l'idée à l'aide d'un exemple issu du collège : L'exponentiation.

En classe de quatrième, on définit l'élévation d'un nombre à une puissance entière comme suit. Soit $n \in \mathbb{N}$ supérieur ou égal à $2$ et soit $a$ un réel non nul. Alors : $a^{n}=a \times a \cdots \times a$, $n$ fois.

Nous commençons par prolonger cette définition en posant : $a^{1}=a$. Notre définition est dorénavant valable pour tout entier supérieur ou égal à $1$.

Ensuite, en posant que : $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$, nous étendons la définition de l'exponentiation aux entiers négatifs.

Il nous reste le cas où $n=0$. Remarquons la propriété, simple à prouver : $\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$. Appliquons là au cas $n=m$ et nous posons que : $a^{0}=1$.

Notre définition d'origine est donc prolongée à tous les entiers.

Pour prolonger l'exponentiation au nombres réels positifs, il nous faut une fonction nouvelle : le logarithme et sa réciproque, l'exponentielle. Et dans ce cas : $x^{\alpha}=e^{\alpha \ln x}$.