Quelle est la nature du célèbre nombre $\pi$ ?

Il est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut s'écrire comme une fraction de nombres entier. Al-Khwârizmî le pensait déjà au IXe siècle, mais c'est au XVIIIe que le mathématicien Jean-Henri Lambert le prouve formellement. Plusieurs autres preuves viendront par la suite, toutes reposent sur une démonstration par l'absurde.

$\pi$ est aussi transcendant, c'est-à-dire qu'il n'est pas zéro d'un polynôme à coefficients rationnels (un tel nombre est dit algébrique). Voici une démonstration simple qui use du théorème d'Hermite-Lindemann. Ce dernier stipule que si $x$ est algébrique et non nul, alors $e^{x}$ est transcendant. Or la magnifique formule d'Euler affirme que $e^{i\pi}=-1$, ce qui, par contraposition, prouve que $i\pi$ est transcendant. Comme $i$ est algébrique (solution de $x^{2}+1=0$) $\pi$ est donc transcendant.