Courrier de lecteur

Dans C.Q.F.D., 21 façons de montrer en mathématiques, aux Éditions Flammarion, je proposais la trame d’une démonstration de l’existence et l’unicité du centre de gravité du triangle (p. 146 sq.) – Une confirmation de cette démarche est à trouver ici.

Un lecteur attentif, Jean-Pierre Leca de l’université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, m’envoie sa version. Le but : Montrer par un argument topologique, l’existence et l’unicité du centre de gravité d’un triangle quelconque.

Centre de gravité

Tout triangle $ABC$ est défini de manière unique par le triplet $\left( a,b,c\right)$ de nombres réels, longueurs de ses trois côtés. Réciproquement, triplet $\left( a,b,c\right)$ de nombres réels satisfaisant à l’inégalité triangulaire définit un triangle $ABC$.

Soit la suite :

$$\begin{array}{ccccc} \mathbb{N} & \to & \mathbb{N}^{3} \\ n & \mapsto & \left( a_{n},b_{n},c_{n}\right) \\ \end{array}$$

telle que $\left( a_{0}, b_{0}, c_{0}\right)$ définit un premier triangle $A_{0}B_{0}C_{0}$ (voir figure) et où $\left( a_{n}, b_{n},c_{n}\right)$ définit le triangle secondaire $A_{n}B_{n}C_{n}$.

À l’aide du théorème de Thalès, il est simple de montrer que :

$$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}=\frac{a_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{a_{0}}{2^{n}}$$

et, mutatis mutandis,

$$b_{n}=\frac{b_{n-1}}{2}=\frac{b_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{b_{0}}{2^{n}}$$

et

$$c_{n}=\frac{c_{n-1}}{2}=\frac{c_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{c_{0}}{2^{n}}$$

Notons $S_{n}$, la surface du triangle $A_{n}B_{n}C_{n}$. Et, $p_{n}=\frac{1}{2}\left( a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)$, son demi périmètre. Alors :

$$S_{n}=\left[ p_{n}\times \left( p_{n}-a_{n}\right)\times \left( p_{n}-b_{n}\right)\times \left( p_{n}-c_{n}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$$

Après calcul, on trouve que :

$$S_{n}=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}\times S_{0}$$

Ce qui nous permet d’affirmer que la suite : $\left( a_{n},b_{n},c_{n}\right)$ de surface $S_{n}$ tend vers le triangle $\left( 0,0,0\right)$ de surface $0$. Ce triangle limite est le point $G$, centre de gravité du triangle.

C.Q.F.D. ​