Dans C.Q.F.D., 21 façons de montrer en mathématiques, aux Éditions Flammarion, je proposais la trame d’une démonstration de l’existence et l’unicité du centre de gravité du triangle (p. 146 sq.) – Une confirmation de cette démarche est à trouver ici.
Un lecteur attentif, Jean-Pierre Leca de l’université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, m’envoie sa version. Le but : Montrer par un argument topologique, l’existence et l’unicité du centre de gravité d’un triangle quelconque.
Tout triangle $ABC$ est défini de manière unique par le triplet $\left( a,b,c\right)$ de nombres réels, longueurs de ses trois côtés. Réciproquement, triplet $\left( a,b,c\right)$ de nombres réels satisfaisant à l’inégalité triangulaire définit un triangle $ABC$.
Soit la suite :
$$\begin{array}{ccccc} \mathbb{N} & \to & \mathbb{N}^{3} \\ n & \mapsto & \left( a_{n},b_{n},c_{n}\right) \\ \end{array}$$
telle que $\left( a_{0}, b_{0}, c_{0}\right)$ définit un premier triangle $A_{0}B_{0}C_{0}$ (voir figure) et où $\left( a_{n}, b_{n},c_{n}\right)$ définit le triangle secondaire $A_{n}B_{n}C_{n}$.
À l’aide du théorème de Thalès, il est simple de montrer que :
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}}{2}=\frac{a_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{a_{0}}{2^{n}}$$
et, mutatis mutandis,
$$b_{n}=\frac{b_{n-1}}{2}=\frac{b_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{b_{0}}{2^{n}}$$
et
$$c_{n}=\frac{c_{n-1}}{2}=\frac{c_{n-2}}{2^{2}}=\cdots =\frac{c_{0}}{2^{n}}$$
Notons $S_{n}$, la surface du triangle $A_{n}B_{n}C_{n}$. Et, $p_{n}=\frac{1}{2}\left( a_{n}+b_{n}+c_{n}\right)$, son demi périmètre. Alors :
$$S_{n}=\left[ p_{n}\times \left( p_{n}-a_{n}\right)\times \left( p_{n}-b_{n}\right)\times \left( p_{n}-c_{n}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$$
Après calcul, on trouve que :
$$S_{n}=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}}\times S_{0}$$
Ce qui nous permet d’affirmer que la suite : $\left( a_{n},b_{n},c_{n}\right)$ de surface $S_{n}$ tend vers le triangle $\left( 0,0,0\right)$ de surface $0$. Ce triangle limite est le point $G$, centre de gravité du triangle.
C.Q.F.D.